Реферат на тему геометрия евклидова

20.10.2019 grifanex DEFAULT 1 comments

Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир — не мир Евклида, как принято считать? Но — ирония судьбы — Гаусс стеснялся открыто попросить сочинения Лобачевского, а тот не отсылал их в Геттинген, так как не знал, что Гаусс понимает по-русски. Гаусс, изучая поверхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов треугольника меньше о. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре года поступить в Геттингенский университет. Развитие евклидовой геометрии Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов. Это видно на рисунке 1.

Алгебраическая геометрия Аналитическая геометрия Евклидова геометрия Неевклидова геометрия Планиметрия Стереометрия Тригонометрия.

Общая топология Алгебраическая топология Дифференциальная геометрия и топология. Дискретная математика. Комбинаторика Теория графов. Прикладная математика. Математическая физика Математическая химия Математическая биология Математическая статистика Математическое моделирование Теория алгоритмов Численные методы Математическая экономика Финансовая математика Теория вероятностей Исследование операций Теория игр.

Категория : Евклидова геометрия. Скрытые категории: Википедия:Статьи без сносок Википедия:Статьи с невикифицированным списком литературы Википедия:Статьи без изображений указано в Викиданных: P18 Википедия:Статьи без изображений указано в Викиданных: P Википедия:Статьи без изображений объекты реферат на тему геометрия евклидова указанного лимита: Пространства имён Статья Обсуждение.

Для примера докажем первое. Пусть рис. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны между. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

Таким образом, в плоскости Лобачевского треугольник вполне определяется своими углами. Стороны и углы зависят друг от друга.

В году он поступил в Казанский университет, в котором ему предстояло провести последующие 40 лет жизни - как студенту, экстраординарному профессору, профессору и, наконец, ректору. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия часть, длина, ширина, граница и т. Скрещивающиеся прямые имеют смысл двух прямых, имеющих общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее расстояние между ними.

Отсюда ясно, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Действительно, ведь из существования подобных фигур вытекает евклидова аксиома параллельности доказательство Валлиса. Уже известно, что, чем меньше размеры фигур, которые мы изучаем, тем ближе к геометрии Россия родина космонавтики доклад, в которой угловой дефект треугольника равен 0. Доказывается следующая теорема: площадь треугольника прямопропорциональна его угловому дефекту.

Чем меньше размеры фигуры, тем меньше ее дефект, тем меньше площадь. Однако угловой дефект по определениям не может превзойти 2d, следовательно, и площадь треугольника в геометрии Лобачевского не может стать больше некоторой, определенной, конечной величины. Таковы некоторые из основных идей и фактов геометрии Лобачевского. Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени.

Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией.

Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих реферат на тему геометрия евклидова. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии.

Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2dили она меньше двух прямых углов. Однако, измерения не могли дать определенного результата в силу их приближенного характера.

Лобачевский всю жизнь искал оправдания реферат на тему геометрия евклидова геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо.

В г.

[TRANSLIT]

Лобачевский умер в г. Не получил признание при жизни и гениальный венгерский математик Янош Бояй Однако, выявилось много противников неевклидовой геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ рис. Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского.

Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона реферат на тему геометрия евклидова - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между реферат на тему геометрия евклидова ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости.

Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под интерпретацией или моделью некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом.

При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию модельто эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна. Итак, доказательство логической непротиворечивости той или иной геометрии, можно свести к доказательству существования модели соответствующей системы аксиом. Первой моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в г.

Идею этой интерпретации можно усмотреть в приведенном выше рис. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность и между понимаются в обычном евклидовом смысле. Оказывается, что в этой модели имеют место все аксиомы абсолютной геометрии, то есть, аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности.

Что же касается аксиомы параллельности, то в этой модели имеет место не постулат Евклида, а именно, аксиома Лобачевского: через т. С, не лежащую на данной прямой хорде АВ, можно провести хотя бы 2 прямые хордыне пересекающие данную.

Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так, например, среди проходящих через данную точку расходящихся прямых L, имеются две предельные CL и CM, параллельные к АВ в смысле Лобачевского, так как разделяют класс реферат на тему геометрия евклидова с АВ прямых от класса сходящихся.

Реферат евклидова геометрия

Сами параллельные не имеют с АВЫ общих точек, поскольку точки А и В, лежащие на окружности, исключены. Аналогично строится модель Клейна геометрии Лобачевского в пространстве, принимая внутренность какого-либо шара за пространство L.

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы и теоремы не могут быть противоречивыми, так как каждой из них соответствует факт евклидовой геометрии внутри круга или внутри шара. Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие друг другу теоремы, то, переводя эти теоремы на язык обычной геометрии посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими теоремами в геометрии Евклида, то есть, построением модели, Клейн показал, реферат на тему геометрия евклидова геометрия Лобачевского непротиворечива в такой же мере, в какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую модель геометрии Лобачевского построил в г. Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского называемой также гиперболической геометрией было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана в узком смысленазываемой так же эллиптической геометрией.

Евклидова геометрия

В разработку эллиптической геометрии значительный вклад внес Гаусс своими исследованиями о поверхностях. Сравнивая три, в известном смысле дополняющих друг другагеометрии: гиперболическую, евклидову называемую так же параболической и эллиптическую, следует отметить, что в первой из них через точку вне данной прямой можно провести к этой прямой две параллельные, во второй - одну, а в третей - ни.

В первой сумма внутренних углов треугольника меньше 2d, во второй равна 2d, а в третей - меньше 2d. Возникшие из попыток реферат на тему геометрия евклидова V постулата неевклидовы геометрии, открытые Лобачевским, Бояй, Гауссом и Риманом и развитые в трудах Бельтрами, Кэли, Клейна, Пуанкаре и других ученых, стали в наши дни необходимым аппаратом для изучения механики, физики и астрономии.

С другой стороны, открытие неевклидовой геометрии привело к новым исследованиям в области оснований геометрии и, в частности, к аксиоматике Гильберта. Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение.

На русском языке он появился только в в году. И ногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.

Это видно на рисунке 1.

Он умер в Италии, не закончив последний мемуар. Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток в том числе и своей собственной, основанной на методе приведения к абсурду доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот.

Красноярск выполнение контрольных работКонтрольная работа по русскому 5Реферат tcp ip протоколы
Курсовой проект технологические процессы в строительствеКонституционный совет рк докладПрически 19 века реферат
Физика 7 кл контрольные работыКурсовая работа на тему драйверГде учителя берут контрольные работы по химии

Классическое доказательство приведено на рисунке 2. Что получается, видно на рисунке 3. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше. Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника.

Реферат на тему геометрия евклидова 5638

Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются расходящимися.

Так вот, первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку — особенности женщин контрольная работа пучка рис. Пучок расходящихся прямых — это перпендикуляры к одной прямой — оси пучка рис. Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида.

И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении рис. Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые. Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек.

В пучке первого рода это точки на прямых, равноудаленные от центра рис. В пучке второго рода это точки прямых, лежащие по одну сторону от оси и отстоящие от нее на одинаковые расстояния рис. Наконец, в пучке третьего рода они расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которых лежа эти точки рис. Соединив соответствующие точки первого пучка, мы получим окружность.

В случае второго пучка мы получаем линию равных расстояний, а в третьем случае — так называемую предельную линию.

И з определения предельных линий выходит, что она бесконечна. Поэтому в реферат на тему геометрия евклидова используется понятие предельной дуги, или дуги предельной линии.

Для концентрических предельных дуг существуют несколько правил: во-первых, равным хордам соответствуют равные дуги, большей хорде — большая дуга; отрезки осей, заключенные между дугами, равны, и отношение двух предельных дуг, заключенных между одинаковыми осями, реферат на тему геометрия евклидова только от расстояния.

Сам Лобачевский дает её определение так: к — это расстояние между двумя предельными дугами, заключенными между двумя осями, отношение которых равно е. Физический смысл этой константы заключается в отображении кривизны пространства Лобачевского. Лобачевским была создана и стереометрия. Прямые в пространстве могут или скрещиваться, или лежать в одной плоскости.

  • Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость.
  • Но, может быть, через много лет она устареет — или это произойдет быстрее?
  • Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2dили она меньше двух прямых углов.
  • Он считался одним из семи мудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом.
  • Категория : Евклидова геометрия.
  • Дискретная математика Комбинаторика Теория графов.

Скрещивающиеся прямые имеют смысл двух прямых, имеющих общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее расстояние между. У параллельных прямых есть два основных свойства: во-первых, если через две параллельные прямые провести две пересекающиеся плоскости, то прямая пересечения плоскостей будет параллельна двум другим; во-вторых, две прямые, параллельные третьей, параллельны одна другой в том же направлении — даже если третья прямая не лежит в плоскости первых двух.

Для анализа расположения прямой и плоскости, на плоскость опускается проекция. Если прямая и плоскость параллельны, то прямая и её проекция на плоскость тоже параллельны, и наоборот. Так же определяется и расположение двух плоскостей — с тем лишь отличием, что, если нельзя провести плоскость, перпендикулярную двум выбранным плоскостям и проходящую через выбранную прямую и её проекцию, то плоскости обязательно пересекутся. Аналогию пучкам в пространстве составляют связки.

Связки также делятся на три рода: первые образуются прямыми и плоскостями, проходящими через одну точку — центр связки; вторые образованны прямыми и плоскостями, перпендикулярными некой плоскости; и, наконец, третьи образованы прямыми и плоскостями, параллельными данной плоскости в одном направлении. Точно так же определяются соответствующие точки. В случае связки первого реферат на тему геометрия евклидова они формируют сферу, второго — поверхность равных расстояний, третьего — предельную поверхность.

Предельная поверхность обладает удивительным свойством: на ней справедлива геометрия Евклида.

Реферат на тему геометрия евклидова 7633321

Пятый, так называемый постулат о параллельных — самый знаменитый. Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы ко всем наукам.

Сформулировав определения, постулаты и аксиомы, Евклид доказывает в книге 1 свойства треугольников среди которых — условия равенства, причем два треугольника равны, если они совмещаются при наложении. Далее описывается построения биссектрисы угла, отрезка и перпендикуляра к прямой. В эту книгу включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур.

В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней реферат на тему геометрия евклидова геометрически, и операции над числами выполняются геометрически.

Она реферат на тему геометрия евклидова Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему не удалось встретить логического противоречия.

Ламберт нигде в своем сочинении не утверждает, что V постулат им доказан, и приходит к твердому заключению, что и все другие попытки в этом направлении не привели к цели. Более того, развивая систему гипотезы острого угла, Ламберт обнаруживает аналогию этой системы со сферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существования.

Лежандр в своем доказательстве пятого постулата рассматривает три гипотезы относительно суммы углов треугольника. Он доказал, что первая гипотеза эквивалентна пятому постулату, вторая гипотеза невозможна; и приняв третью гипотезу приходит к противоречию, неявно воспользовавшись в доказательстве пятым постулатом через один из его эквивалентов. В результате проблема параллельных оставалась к началу XIX века неразрешенной и положение казалось безвыходным.

Реферат на тему геометрия евклидова 3182

Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца: я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил… Этот беспросветный мрак… никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии.

Беспросветный мрак, о котором с горечью писал старший Бойяи, рассеял Лобачевский и, несколько позднее, Я. В то время многие математики с воодушевлением восприняли философскую теорию Иммануила Канта о человеческом познании. Кант утверждает, что все аксиомы и теоремы математики истинны. Он говорит, что наш разум сам по себе владеет формами пространства и времени. Реферат на тему геометрия евклидова и время представляют собой разновидности восприятия называемые Кантом интуитивными представлениямипосредством которых разум созерцает опыт.

Мы воспринимаем, организуем и осознаем опыт в соответствии с этими формами созерцания разум накладывает формы созерцания на полученные им чувственные восприятия, вынуждая те подстраиваться под заложенные в нем схемы.

Так как интуитивное представление о пространстве берет свое начало в разуме, некоторые свойства пространства разум автоматически. Они составляют неотъемлемую часть нашего умственного багажа. Геометрия занимается изучением лишь логических следствий из таких утверждений.

Реферат на тему геометрия евклидова и рациональность, которые мы, как нам кажется, воспринимаем во внешнем мире, в действительности проецируется на внешний мир нашим разумом и формами нашего мышления. Конструируя пространство на основе работы клеток головного мозга человека, кант не видел причин для отказа от евклидова пространства.

Собственную неспособность представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется.

Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением. И одной из предпосылок геометрических открытий Н.

Неевклидова геометрия. Часть 1. История математики

Лобачевского был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания.

Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И.

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к году. Доклад г. Наконец, в и гг.